El -Kirschoffs lagar

Startsidan | Kursöversikt | Epost till läraren | Hjälp

Ekvationsystemlösning (Kirschoffs lagar)

I fysiken stöter vi ofta på problem som ger flera ekvationer och flera obekanta, ett så kallat ekvationssytem.

Trots att man läser om det i matematiken (Matematik B) så kan det kännas ovant när det inte är välordnade ekvationer med x, y och z som variabler.

Det kanske ser ut så här:

I₂= I₁+ I₃
1 - 2·I₁ - 3·I₂ = 0
5 + 4·I₃ - 3·I₂ = 0

I stället för x, y, z har vi I₁, I₂, I₃. Vi kan börja med att ordna upp ekvationerna: ordnade variabeltermer till vänster om = och konstanttermerna till höger om =.

(1): I₁ - I₂ + I₃ = 0
(2): 2I₁ + 3I₂ + 0 = 1
(3): 0 + 3I₂ + 4I₃ = 5

Det skulle lösas på precis samma sätt som:

(1): 1x - 1y + 1z = 0
(2): 2x + 3y + 0z = 1
(3): 0x + 3y + 4z = 5

Lösa med moderna räknare

Moderna räknare har ofta inbyggda program för att lösa sådana problem:

Casio (fx-9750 m fl):

Menu > EQUA> F1:Simultaneous > Number of unknowns:3 (=F2), sedan kan du följa den animerade bilden till höger.

Gratis program man kan ladda in i Texas:

TI-83 upp till 27 variabler Du måste ha en sladd för att tanka över programmet från datorn till räknaren.

Animerad bildserie som visar hur programmet ser ut och används för denna exempel.

Sedan finns möjligheten att använda Matrisräkning för att göra samma sak men det kommer först i de högre matematikkurserna men metoden beskrivs nog i bruksanvisningen till räknaren.

Lösa utan hjälpmedel

Om man vill lösa det för hand kan man använda ersättningsmetoden eller additionsmetoden. Här visas ersättningsmetoden:

(1) ger y = x + z som kan stoppas in i (2) och (3):

(2)   2x + 3(x+z) = 1
(3)   3(x+z) + 4z = 5

(2)   5x + 3z = 1
(3)   3x + 7z = 5

(2) ger x = (1-3z)/5 som kan stoppas in i (3):

(3) 3(1-3z)/5+7z = 5 som nu har bara en obekant, z. Det blir mycket enklare om vi multiplicerar alla termer med 5:

3 - 9z + 35z = 25
26z = 22
z = 22/26 = 0,8461538462

Nu är ena variabeln löst!

För att få x använder jag x = (1-3z)/5 = (1-3(0,8461538462))/5 = -0,3076923077

För att få y använder jag y = x+z = -0,3076923077+ 0,8461538462 = 0,5384615385

men egentligen var det inte x, y, z så lösningen är:

I₁ ≈ -0,307; I₂ ≈ 0,5384; I₃ ≈ 0,8461

Tillbaka till Kirchoffslag-exemplet

2005 Nationellt centrum för flexibelt lärande